:quality(70)/cloudfront-eu-central-1.images.arcpublishing.com/irishtimes/TP4BGRQQTBHPXFPV3QQLZU4T2A.jpg)
Математики, вооруженные суперкомпьютерами, наконец определили значение комплексного числа, которое раньше считалось невозможным вычислить.
Число, известное как «Девятое число Дедекинда» или D (9), на самом деле является десятой цифрой в последовательности. Каждое число Дедекинда представляет собой количество возможных конфигураций данного типа логической операции «истина-ложь» в различных пространственных измерениях. (Первое число в последовательности — D(0), которое представляет нулевое измерение. Вот почему D(9), представляющее девять измерений, является десятым числом в последовательности.)
Числа Дедекинда увеличиваются в геометрической прогрессии для каждого нового измерения, что затрудняет точное определение. Восьмое число Дедекинда, которое следует тем же правилам для восьми измерений, было вычислено в 1991 году. Но из-за скачка вычислительной мощности, необходимой для вычисления девятого, некоторые математики считали невозможным вычислить его точное значение.
Но теперь есть два несвязанных исследования, проведенных отдельными исследовательскими группами. Во-первых Отправлено на сервер допечатной подготовки arXiv 5 апреля и второй Сдал на тот же сервер 6 апреля — сделал невозможное. Два исследования — каждое с использованием суперкомпьютера, но с разным программным обеспечением — дали точно такое же число.
Связанный: Число Пи вычислено до рекордных 62,8 трлн цифр.
Результаты не рецензировались. Но поскольку исследования пришли к одному и тому же выводу, можно быть на «100%» уверенным в том, что число было расшифровано правильно, как сказал ведущий автор во второй статье: Леннарт ван ХертемОб этом Live Science рассказал математик из Падерборнского университета в Германии и ведущий автор второй статьи.
Ван Хиртум и его коллеги защищают свою работу во время лекция в Падерборнском университете 27 июня.
Что такое числа Дедекинда?
Немецкий математик Рихард Дедекинд впервые описал числа Дедекинда в 19 веке. Числа связаны с логическими задачами, известными как «монтонные логические функции» (MBF).
Булевы функции — это тип логики, которая может принимать на вход только одно из двух значений — 0 (ложь) и 1 (истина) — и выдавать только эти два значения. В MBF вы можете поменять местами 0 на 1 во входных данных, но только если это позволяет изменять выходные данные с 0 на 1, а не с 1 на 0. Числа Дедекинда являются выходными данными MBF, где входными данными является указанное пространственное измерение.
Эта концепция может быть очень запутанной для неспортсменов. Ван Хертом объяснил, что можно визуализировать происходящее, используя формы для представления чисел Дедекинда для каждого измерения. Например, во втором измерении число Дедекинда связано с квадратом, тогда как третье может быть представлено кубом, а четвертое и выше — гиперкубами.
Для каждого измерения вершина или точки определенной формы представляют возможные конфигурации MBF (см. изображение ниже). Чтобы найти число Дедекинда, вы подсчитываете, сколько раз вы можете раскрасить каждую вершину каждой фигуры одним из двух цветов (в данном случае красным и белым), но только при условии, что один цвет (в данном случае белый) не является помещается поверх другого (в данном случае красного).
Для нулевых измерений форма представляет собой всего одну точку, а D(0) = 2, поскольку точка может быть красной или белой. Для одного измерения форма представляет собой линию с двумя точками и D(1) = 3, потому что обе точки могут быть либо одного цвета, либо красного поверх белого. Для двух измерений это квадрат, а D(2) = 6, потому что теперь есть шесть возможных сценариев, в которых нет белой точки над красной точкой. А для трех измерений форма представляет собой куб, а количество возможных конфигураций подскакивает до 20, поэтому D(3) = 20.
Ван Хертом сказал, что по мере увеличения количества измерений виртуальная форма становится все более сложным гиперкубом с экспоненциально большим числом результатов.
Следующие пять значений чисел Дедекинда: 68, 7581, 7828354, 2414682040998 и 56130437228687557907788.
Новое определенное значение D(9) равно 286386577668298411128469151667598498812366.
Все более сложные расчеты
Ван Хиртум работал над D(9) более трех лет. Для этого он создал компьютерную программу нового типа, позволяющую суперкомпьютеру обрабатывать данные определенным образом. По его словам, если бы он использовал более простое программное обеспечение, ему потребовалось бы до 100 лет, чтобы завершить расчеты, даже с помощью сложной машины для решения чисел.
После создания компьютерного кода команда Ван Хиртума провела более четырех месяцев, используя суперкомпьютер в Левенском университете в Бельгии для обработки данных.
Однако расчеты не заняли много времени: Ван Хертом сказал, что природа программы такова, что она была подвержена частичным ошибкам, а это означало, что команде приходилось постоянно переделывать.
Для сравнения, компьютер, использовавшийся в 1991 году для упражнения D(8), был менее мощным, чем современный смартфон, и выполнил задачу примерно за 200 часов. По словам Ван Хертома, современный портативный компьютер мог бы выполнить эти вычисления менее чем за 10 минут.
Ван Хиртум считает, что аналогичный скачок вычислительной мощности компьютера необходим для вычисления десятого числа Дедекинда. «Если бы мы делали это сейчас, это потребовало бы обработки энергии, равной общей энергии, производимой солнцем», — сказал он, что сделало его расчет «практически невозможным».
Ван Хертом сказал, что требования к вычислительной мощности могут быть снижены за счет использования более сложных алгоритмов.
«Но мы были поражены сложностью алгоритмов», — добавил он.
Однако другие математики все еще надеются, что D(10) в конечном итоге можно будет вычислить, сказал Ван Хиртум.
«Главный евангелист пива. Первопроходец в области кофе на протяжении всей жизни. Сертифицированный защитник Твиттера. Интернетоголик. Практикующий путешественник».
More Stories
Бактерии, поедающие углерод, могут быть ключом к удалению углерода
Развитие рака кожи, его профилактики и лечения за последний год
Скручивание и связывание волн материи с фотонами в полости